Site personnel de Jacques Cellier

Un peu de mathématiques...

Hasard, complexité, chaos

Il s'agit du résumé d'une conférence donnée à l'UTL de Saint-Malo pour un public dans l'ensemble peu versé dans les mathématiques. J'y évoque :

• Quelques paradoxes en probabilité comme le singe dactylographe et la marche de l'ivrogne.
• La complexité à travers l'ensemble de Mandelbrot.
• Le chaos à travers la suite logistique et le papillon de Lorenz.

Fichiers à télécharger :

• Le texte résumé de la conférence.
• Texte complémentaire   sur le papillon de Lorenz avec le mode d'emploi des applications Lorenz_1.jar et Lorenz_2.jar téléchargeables ci-dessous.
• Applications Java En décompressant l'archive, vous obtiendrez 5 fichiers .jar exécutables, un fichier image .png et un dossier lib. Ne pas les séparer.

Jeu de mots (Pile ou Face de Walter Penney)

Alice et Bob vont jouer à un jeu de Pile ou Face.Chacun d'entre eux va choisir une liste de résultats (on parlera de mots sur l'alphabet {P, F}). Les deux mots choisis sont de même longueur, la pièce est équibrée. On jette la pièce en notant, dans l'ordre, le résultat jusqu'au moment où le mot choisi par un des deux joueurs apparaît lequel ou laquelle est proclamé[e] gagnant[e]. Ce petit jeu d'apparence anodine révèle une première surprise et soulève plusieurs questions :

• Quelle est la probabilité d'apparition d'un mot ?
• Combien, en moyenne, faut-il effectuer de jets pour voir le mot apparaître ?
• Existe-t-il une stratégie gagnante ?
• Quid du cas sans équiprobabilité ?

On pourrait penser qu'il s'agit d'une récréation mathématique. Mais il faut noter qu'elle a intéréssée des grands mathématiciens comme John Conway dont on découvrira dans le texte une formule avec une démonstration. Et si on remplace l'alphabet {P, F} par {A, C, G, T}, cela peut suggérer d'autres applications ? Indice : j'ai découvert ce problème dans l'ouvrage de Pavel A. Pevzner Bio-Informatique moléculaire.
Fichiers à télécharger :

• Texte pdf
• Une application Java pour simuler le jeu.
• Un classeur Excel avec fonctions VBA personnalisées.

Mathématiques matrimoniales

Derrière cette appellation se cachent des problèmes de couplage. Étant donné deux ensembles finis de même cardinal,il s'agit de déterminer une bijection entre eux en respectant certaines contraintes. Ces ensembles peuvent être, par exemple : des ressources et des besoins, des postes et des candidats, des filles et des garçons. Dans les études sur ce sujet, c'est, par tradition, le vocabulaire propre à ce dernier exemple qui est adopté. Dans le texte proposé sont abordés :

• Problème de P. Hall : Mariages avec partenaires admissibles.
• Algorithme de D. Gale et L. Shapley : Mariages avec ordre de préférences.
• Extension au cas des préférences incomplètes.
• Extension au cas "non genré".
• Problème du couplage optimal : algorithme "hongrois" alias de Kuhn-Munkres.

Fichiers à télécharger:

• Mathématiques matrimoniales Texte pdf.
• Applications Java En décompressant l'archive, vous obtiendrez 5 fichiers .jar exécutables et un dossier lib à ne pas séparer des .jar.
• Archive à décompresser pour obtenir des exemples sous forme de fichiers csv utilisables dans les applications Java.

Polynômes cyclotomiques

Un sujet classique de mathématiques sur lequel je me suis penché un jour (en fait plusieurs...).

Fichier à télécharger :

• Polynômes cyclotomiques Texte pdf.

Petite introduction à la théorie des jeux

Dans ce texte sont abordés uniquement les jeux sous forme dite « stratégique ». Sont développés et illustrés par des exemples les sujets suivants :

• Représentation matricielle du jeu.
• Stratégie dominante, stratégie prudente, équilibre de Nash.
• Stratégies mixtes et théorème de Von Neumann pour 2 joueurs et somme nulle.
• Jeu fini de N joueurs et théorème de Nash.

Fichiers à télécharger :

• Jeux sous forme stratégique Texte pdf.
• Solveur Excel Ce classeur a été conçu et a fonctionné sous une antique version d'Excel(2003). Sous la dernière version il semble poser problème (?).

Autour des matrices de Hadamard

Les matrices de Hadamard sont des matrices carrées dont les coefficients sont 1 ou -1. Représentées sous forme de damiers bicolores, elles possédent une propriété intriguante : si on rapproche 2 lignes quelconques, on verra autant d'accords de couleurs que de désaccords. Et c'est vrai aussi pour les lignes. Ces matrices ne sont pas une simple curiosité mathématique. Elles ont des applications dans des domaines variés. Deux sont exposées dans ce texte concernant : les plans d'expérience et les codes correcteurs d'erreurs. D'autres pourront suivre dans une version ultérieure...

Fichiers à télécharger :

• Autour des matrices de Hadamard Texte pdf.

Autour des permutations

Par le biais d'une Feuille de travail Maple (.mw), les permutations sont abordées sous l'aspect algorithmique etv combinatoires. Parmi les sujets traités, on trouvera la décomposition en transpositions, la décomposition en cycles disjoints, les records et la correspondance de Foata, le code de Lehmer, les dérangements... La feuille de travail inclut procédures, graphiques et démonstrations.

Fichiers à télécharger :

• newpermutation.mw Feuille de travail Maple.
• newpermutation.pdf Une version pdf pour les personne ne disposant pas d'une version récente de Maple.

Probabilités au tennis

Ce texte est inspiré d’un chapitre du livre de Ian Stewart « Game, Set and Math » Il concerne le système de comptage des points lors d’un match de tennis dont l’habillage baroque1 (15, 30, 40…) est bien connu. On découvrira dans ce document que, derrière, se cache un mécanisme d’amplification des différences entre joueurs… Ce texte complète celui de Ian Stewart en généralisant les formules en vue d'applications à d'autres sports (Volley-ball, Tennis de table...). Par ailleurs il se penche sur l'étude de la variable aléatoire "durée", exprimée en nombre d'échanges pour un jeu et en nombre de jeux pour un set.

Fichiers à télécharger :

• Tennis et probabilités Texte pdf.
• Classeur Excel  avec fonctions VBA pour faire les calculs.

À suivre...