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Cette page est consacrée à divers sujets de mathématiques. Ces textes sont susceptibles d'être complétés et améliorés par la suite.

Pour chacun d'entre eux, elle présente un texte accompagné d'outils informatiques : classeurs Excel avec fonctions VDA personnalisées, applications Java.

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Un peu de mathématiques...

Papillon de Lorenz
Papillon de Lorenz

Hasard, complexité, chaos

Il s'agit du résumé d'une conférence donnée à l'UTL de Saint-Malo pour un public dans l'ensemble peu versé dans les mathématiques. J'y évoque :

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Jeu de mots (Pile ou Face de Walter Penney)

Alice et Bob vont jouer à un jeu de Pile ou Face.Chacun d'entre eux va choisir une liste de résultats (on parlera de mots sur l'alphabet {P, F}). Les deux mots choisis sont de même longueur, la pièce est équibrée. On jette la pièce en notant, dans l'ordre, le résultat jusqu'au moment où le mot choisi par un des deux joueurs apparaît lequel ou laquelle est proclamé[e] gagnant[e]. Ce petit jeu d'apparence anodine révèle une première surprise et soulève plusieurs questions :

On pourrait penser qu'il s'agit d'une récréation mathématique. Mais il faut noter qu'elle a intéréssée des grands mathématiciens comme John Conway dont on découvrira dans le texte une formule avec une démonstration. Et si on remplace l'alphabet {P, F} par {A, C, G, T}, cela peut suggérer d'autres applications ? Indice : j'ai découvert ce problème dans l'ouvrage de Pavel A. Pevzner Bio-Informatique moléculaire.
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Mathématiques matrimoniales

Noce paysanne de Pieter Bruegel
Noce paysanne de Pieter Bruegel

Derrière cette appellation se cachent des problèmes de couplage. Étant donné deux ensembles finis de même cardinal,il s'agit de déterminer une bijection entre eux en respectant certaines contraintes. Ces ensembles peuvent être, par exemple : des ressources et des besoins, des postes et des candidats, des filles et des garçons. Dans les études sur ce sujet, c'est, par tradition, le vocabulaire propre à ce dernier exemple qui est adopté. Dans le texte proposé sont abordés :

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Polynômes cyclotomiques

Un sujet classique de mathématiques sur lequel je me suis penché un jour (en fait plusieurs...).

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Petite introduction à la théorie des jeux

L'escamoteur de HieronymusBosch
L'escamoteur de Hieronymus Bosch

Dans ce texte sont abordés uniquement les jeux sous forme dite « stratégique ». Sont développés et illustrés par des exemples les sujets suivants :

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Autour des matrices de Hadamard

hadamard32.jpg
Visualisation sous forme de damier d'une matrice de Hadamrd

Les matrices de Hadamard sont des matrices carrées dont les coefficients sont 1 ou -1. Représentées sous forme de damiers bicolores, elles possédent une propriété intriguante : si on rapproche 2 lignes quelconques, on verra autant d'accords de couleurs que de désaccords. Et c'est vrai aussi pour les lignes. Ces matrices ne sont pas une simple curiosité mathématique. Elles ont des applications dans des domaines variés. Deux sont exposées dans ce texte concernant : les plans d'expérience et les codes correcteurs d'erreurs. D'autres pourront suivre dans une version ultérieure...

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Autour des permutations

Jeu de taquin.jpg

Par le biais d'une Feuille de travail Maple (.mw), les permutations sont abordées sous l'aspect algorithmique etv combinatoires. Parmi les sujets traités, on trouvera la décomposition en transpositions, la décomposition en cycles disjoints, les records et la correspondance de Foata, le code de Lehmer, les dérangements... La feuille de travail inclut procédures, graphiques et démonstrations.

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Probabilités au tennis

tennis.png
Horace Henry Cauty : Tennis, fleurs et cerises

Ce texte est inspiré d’un chapitre du livre de Ian Stewart « Game, Set and Math » Il concerne le système de comptage des points lors d’un match de tennis dont l’habillage baroque1 (15, 30, 40…) est bien connu. On découvrira dans ce document que, derrière, se cache un mécanisme d’amplification des différences entre joueurs… Ce texte complète celui de Ian Stewart en généralisant les formules en vue d'applications à d'autres sports (Volley-ball, Tennis de table...). Par ailleurs il se penche sur l'étude de la variable aléatoire "durée", exprimée en nombre d'échanges pour un jeu et en nombre de jeux pour un set.

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Urnes à composition variable

urnesvariables.png

La loi binomiale qui modélise les tirages successifs de K boules (de couleur rouge ou bleu) avec remise dans une urne où p est la proportion des boules rouges fait partie des grands classiques en probabilité. Mais que se passe-t-il lorsque la composition de l’urne varie d’un tirage à l’autre. Dans ce document nous aborderont deux cas qui conduiront à :

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À suivre...